“Tout est rapport et proportion”

 Procédons à un calcul à l’unité.

Prenons le côté du triangle = 1

La surface du triangle équilatéral est égal :   b*h /2

Théorème de Pythagore :

AD² + DB² = AB², avec CD=DB = 1 / 2 = 0,5.

AD² + 0,5² = 1

AD² = 1 – 0,25 = 0,75

AD = √0,75 = 0,8660254038  = √3 / 2  = hauteur du triangle

Le rayon du cercle  OA = √3/2 * 2/3 =2√3/6   = √3/3   =  0,5773502692

Surface du cercle :

π.r² = π * √3 / 3 =  3,1416*0,33333 = 1,0471998 = 1,0472 =  π/3

 Surface du triangle

B*h/2  = (1*√3 /2)  / 2 =   0,433 = √3 /4                                      

Rapport entre la surface du cercle et la surface du triangle :

1,0472 / 0,433 = 2,4184

Périmètre du cercle : 2*π * r = 2* π *√3/3 = 3,627607211

Périmètre du triangle équilatéral : 3 = 3

Rapport entre    périmètre du cercle   =  3,627607211 / 3 = 1,209202404

                          périmètre triangle

Ce rapport est la moitié de celui du rapport des surfaces soit : 2,4184/2

Prenons le côté du carré = 1

La surface du carré = C²  = 1*1 = 1

Théorème de Pythagore :

AD² + DC² = AC² 

1 + 1 = 2

AC² = 2

AC = √2

Le rayon du cercle  OA = √2 /2

La surface du cercle =   π*r²  =   π * (√2 /2)² = π * ½ =  π / 2

Rapport entre la surface du cercle et la surface du carré :

(π / 2) / 1 = π / 2

Périmètre du cercle : 2*π * r = 2* π * √2 /2 = 4,442893328

Périmètre du carré  :  4*C = 4

Rapport entre    périmètre du cercle   =  4,442893328/4 = 1,110723332

                          périmètre carré

Ce rapport correspond au rapport des surfaces 1,5708(π / 2)  divisé par √2

Autres rapports

 Rapport entre         la surface du cercle inscrivant le carré        =      π / 2 = 1,5

                               la surface du cercle inscrivant le  triangle            π/3

(Inversement           1/1,5 = 0,6666666667)

Rapport entre        la surface du carré      =  1/0,433 =  2,309469

                             la surface du triangle

(Inversement          1 / 2,309469 = 0,4329999667sensiblement0,433 = √3 / 4)

Rapport entre  périmètre cercle inscrivant le carré        =  4,442893328 = 1,2247= √1,5

                        périmètre cercle inscrivant le  triangle       3,627607211  

(Inversement  1/1,225 = 0,8163265 = √0,6666666667)

Ce rapport correspond à la racine carrée du rapport des surfaces cercles 1,5.

Rapport entre        le périmètre du carré      =  4/3 =  1,3333333

                              Le périmètre du triangle

 (Inversement 1/1,3333333 = 0,75 = 3 / 4 = (√3 / 2)²)

Ce rapport correspond au rapport des surfaces carré-triangle 2,309469 divisé par √3.

Interprétations

Les côtés des triangles et des carrés sont identiques et égaux à 1.

Surface cercle inscrivant triangle * 1,5 = surface cercle inscrivant carré

Surface du triangle * 2,309469 = surface du carré

Périmètre cercle inscrivant triangle * √1,5 = périmètre cercle inscrivant carré

Périmètre du triangle * 1,3333333 = périmètre du carré

Les résultats sont valables quelque soit la longueur identique appliquée aux côtés du triangle équilatéral et au carré.

Etablissons des tableaux généraux

En surface pour le triangle équilatéral

Surface du triangle : b*h/2

Surface du cercle    : π*.r²  

En l’occurrence il s’agit de la surface du cercle qui inscrit le triangle.

Surface du triangle : n²*√3/4     Surface du cercle : n²* π/3 

Pour le développement des puissances de 2 :

Surface du triangle : (2ⁿ)²*√3/4     Surface du cercle : (2ⁿ)²* π/3 

Pour le développement des multiples de 2 :

Surface du triangle : (2n)²*√3/4     Surface du cercle : (2n)²* π/3 

En surface pour le carré

Surface du carré : C²

Surface du cercle    : π*.r²  

En l’occurrence il s’agit de la surface du cercle qui inscrit le carré.

Surface du carré :n²     Surface du cercle : n²* π/2

Pour le développement des puissances de 2 :

Surface du carré : (2ⁿ)²    Surface du cercle :  (2ⁿ)²* π/2

Pour le développement des multiples de 2

Surface du carré : (2n)²     surface du cercle : (2n)²* π/2

Vérifications  (longueur du côté 12)

Surface cercle inscrivant triangle * 1,5 = surface cercle inscrivant carré

144π/3*3/2 = 432 π/6 = 72 π ou 144 π/2 ou 12²  *π/2

Surface du triangle * 2,309469 = surface du carré

144√3/4*2,309469 = 332,56353√3/4 = 332,563536*(1,732050808/4)

= 332,56353*0,4330127019 = 144,0042327

A partir du  périmètre du triangle de côté 1

Périmètre du triangle : 3*n

Périmètre du cercle : 2* π*r

Il s’agit du périmètre du cercle qui inscrit le triangle.

Périmètre du triangle : 3*n     Périmètre du cercle : 2n* π√3/3

Cas particulier pour les multiples de 3

La longueur du côté est multiple de 3 = 3*n

Le rayon : n√3 (résultat obtenu après simplification par 3)

Le périmètre du triangle : 3*3n = 9n

Le périmètre du cercle : 2n* π√3 (résultat obtenu après simplification par 3)

Pour une longueur de côté 3, n = 3/3 = 1 puisque un côté = 3*n

Rayon : n√3  pour n = 1 est égal à √3 

Périmètre cercle : 2n* π√3 pour n=1 est égal à 2π√3

De cette formule 2n* π√3  ne pouvons nous pas écrire que 3= 1 , 6=2, 9=3, 12=4…et n les entiers naturels ?

Pour le développement des puissances de 3 :

Le périmètre du triangle : 3ⁿ*3      (n de 2n* π√3/3 = 3ⁿ) -  n puissances,de 0 à ∞

Longueur du côté : 3ⁿ

La formule est : 2*3ⁿ* π√3/3

Pouvons-  nous également écrire que 3=1, 9=3, 27=9, 81=27 ?

A partir du périmètre du carré de côté 1

Périmètre du carré : 4*n

Périmètre du cercle : 2* π*r

Il s’agit du périmètre du cercle qui inscrit le carré.

Périmètre carré : 4*n   Périmètre cercle : n* π√2 (résultat obtenu après simplification par 2)

Pour le développement des puissances de 2 :

La formule pour le périmètre est : 2ⁿ * π√2

Pour le développement des multiples de 2 :

La formule pour le périmètre est : 2n * π√2

Tableau synthétique